04. Calcular el volumen de un rectoedro, cuyas dimensiones forman una progresión aritmética, si estas dimensiones suman 18m y el área total del sólido es 208 m². A) 160 m³ B) 172 m³ C) 182 m³ D) 190 m³ E) 192 m³
Respuestas a la pregunta
El volumen del rectoedro, conocido como prisma rectangular, es de 192 metros cúbicos. La opción correcta es la marcada con la letra E).
¿Cómo se calcula el área superficial y el volumen de un rectoedro?
El rectoedro es un paralelepípedo o prisma rectangular cuya área superficial (A) se calcula por la suma de las áreas de los 6 rectángulos que forman sus paredes, piso y techo, y cuyo volumen (V) se calcula por el producto del área del piso por la altura.
A = 2 (área pared frontal) + 2 (área pared lateral) + 2 (área piso)
V = (área piso)(alto)
Se sabe que el área superficial es de 208 metros cuadrados y que la suma de las dimensiones es 18 metros. Además, sabemos que las dimensiones forman una progresión aritmética. De aquí podemos calcular el valor de x, y, z, según la nomenclatura de la figura anexa. Con ellas podemos calcular el volumen del rectoedro.
A = 208 = 2(x)(y) + 2(x)(z) + 2(y)(z)
x + y + z = 18
Si x, y, z forman una progresión aritmética, podemos establecer la siguiente relación:
- x = x
- y = x + r
- z = y + r = x + 2r
Por lo tanto
x + y + z = 18 ⇒ x + (x + r) + (x + 2r) = 18 ⇒
3x + 3r = 18 ⇒ x = 6 - r ⇒
y = x + r ⇒ y = (6 - r) + r ⇒ y = 6 ⇒
x = y - r = 6 - r ⇒ z = y + r = 6 + r ⇒
2(6 - r)(6) + 2(6 - r)(6 + r) + 2(6)(6 + r) = 208 ⇒
36 - 6 r + 36 - r² + 36 + 6r = 104 ⇒
r² = 4 ⇒ r = 2 ⇒ x = 4 ⇒ z = 8
Ya que x = 4 m, y = 6 m, z = 8 m, calculamos el volumen
V = (x)(y)(z) = (4)(6)(8) = 192 m³
El volumen del rectoedro, prisma rectangular, es de 192 metros cúbicos. La opción correcta es la marcada con la letra E).
Tarea relacionada:
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