Question

01. La razón aritmética de dos enteros es a su producto como 16/25 veces su razón geométrica es a su suma. Halle la razón de los dos menores números que aritmética C) 4 D) 5 E) 6 cumplen. A) 2 B)3​

Answer 1

Respuesta:

A) 2

Explicación paso a paso:

La razón aritmética la expresamos como una diferencia : a-b

El producto lo expresamos como $ab$

La razón geométrica, la expresamos como un cociente $\frac{a}{b}$

Dice la primera parte del enunciado del ejercicio:

La razón aritmética de dos enteros es a su producto, o sea:  $\frac{a-b}{ab}$

Dice la segunda parte del enunciado: como 16/25 veces su razón geométrica; o sea $\frac{16}{25}(\frac{a}{b})$ es a su suma; o sea:  $\frac{\frac{16}{25}(\frac{a}{b})}{a+b}$

Expresadas las razones, la proporción queda ensamblada así:

$\frac{a-b}{ab}=\frac{\frac{16}{25}(\frac{a}{b})}{a+b}$

Observemos que al multiplicar en cruz, el antecedente de la primera razón con el consecuente de la segunda, corresponden a un producto notable. Por tanto, tenemos: $(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$;

$a^{2}-b^{2}=ab(\frac{16a}{25b})$ ; de donde: $a^{2}-b^{2}=\frac{16a^{2}}{25}$ ;  de donde: $25a^{2}-25b^{2}=16a^{2}$

por tanto: $25a^{2}-16a^{2}-25b^{2}=0$ ;  o sea: $9a^{2}-25b^{2}=0$   pasamos 25 a sumar al otro lado:   $9a^{2}=25b^{2}$ ; por tanto: $a^{2}=\frac{25b^{2}}{9}$;  de donde:

$a=\sqrt{\frac{25b^{2}}{9}}$ ;  $a=\frac{5b}{3}$ ; de donde $3a=5b$

Esta última igualdad corresponde al producto en cruz de estas razones:

$\frac{5}{3}=\frac{a}{b}$  ; por tanto, $a=5$  y $b=3$  

La razón aritmética de esos dos enteros es: 5-3=2

2 es la respuesta y corresponde a la opción A