∫_0^∞▒〖x^2 e^(-x) dx〗
Respuestas a la pregunta
Resolver: ∫₀⁰⁰ (x²e⁻ˣ dx)
Hola!!!
x²e⁻ˣ Continua en todos los Reales ⇒ x²e⁻ˣ Continua en (0 ; ∞) ⇒
Integral Impropia de Primera especie:
∫₀⁰⁰ f(x) dx = lim_b→∞ ∫ₐᵇ f(x) dx
∫₀⁰⁰ x²e⁻ˣ dx = lim_b→∞ ∫₀ᵇ x²e⁻ˣ dx
Integración por partes: ∫u×v' dx = u×v - ∫u'×v dx
u = x² ⇒ u' = 2x
v' = e⁻ˣ ⇒ v = ∫e⁻ˣ dx = -e⁻ˣ
∫₀⁰⁰ x²e⁻ˣ dx = x²-e⁻ˣ -∫-e⁻ˣ 2x dx = ( i )
Integración por partes nuevamente con: ∫-e⁻ˣ 2x dx
u = x ⇒ u' = 1dx
v' = e⁻ˣ dx = -e⁻ˣ
∫-e⁻ˣ 2x dx = x-e⁻ˣ -∫-e⁻ˣ dx =
-e⁻ˣ x + ∫e⁻ˣ dx = -e⁻ˣ x - e⁻ˣ = -2e⁻ˣ
( i ) ∫₀ᵇ x²e⁻ˣ dx = x²-e⁻ˣ -∫-e⁻ˣ 2x dx =
x² - e⁻ˣ -∫-2e⁻ˣ x dx = -x²e⁻ˣ - (-2)∫e⁻ˣ x dx =
-e⁻ˣ x² + 2 - 2e⁻ˣ ⇒
∫₀⁰⁰ x²e⁻ˣ dx = lim b→∞ (-e⁻ˣ x² + 2 - 2e⁻ˣ) =
-e⁻⁰⁰ x² + 2 -2e⁻⁰⁰ = e⁻⁰⁰ = 1/e⁰⁰ = 1/∞ = 0 ; e⁰⁰ = ∞
1/e⁰⁰ x² + 2 -2/e⁰⁰ = k/∞ = o k = numero real
0 + 2 - 0 = 2 ⇒
∫₀⁰⁰ (x²e⁻ˣ dx) = 2 Respuesta
Saludos!!!
