. (0,09 - 0,6) : (1 - 0,9) + (2.0,4 - 2) =
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
El hecho de que ciertos números reales puedan ser representados por más de una secuencia de dígitos no se limita al sistema decimal únicamente. El mismo fenómeno ocurre en todas las bases enteras, y los matemáticos también han cuantificado los modos de escribir 1 en bases no enteras. Ni siquiera se trata de un fenómeno restringido al número 1: todo número decimal finito no nulo tiene un gemelo con infinitos nueves, por ejemplo: 2 y 1,999... representan al número natural dos; 28,3287 y 28,3286999... también representan al mismo número decimal. Por simplicidad, el decimal finito es casi siempre la representación preferida, lo que puede contribuir a una equivocada interpretación de que es la única representación. Por otra parte, la forma no terminal de un número permite estudiar más fácilmente los patrones de la expansión decimal de ciertas fracciones; en base tres, por ejemplo, permite expresar la estructura ternaria del conjunto de Cantor, un fractal simple. La representación múltiple debe tomarse en cuenta en la demostración clásica de la no numerabilidad de los números reales. De manera más general, cualquier sistema de numeración posicional de los números reales, contiene una cantidad infinita de números con representaciones múltiples.
La igualdad 0,999... = 1 ha sido aceptada desde hace tiempo por los matemáticos y se la incluye en los libros de texto. No ha sido hasta las últimas décadas en que los enseñantes de matemática se han inclinado por estudiar la percepción de esta igualdad entre los estudiantes, muchos de los cuales inicialmente la cuestionan o la niegan. Muchos se persuaden por una apelación a la autoridad de los libros de texto y los profesores, o por razonamientos aritméticos. Sin embargo, algunos no se conforman, por lo que buscan una justificación ulterior.
La igualdad 0,999... = 1 está íntimamente relacionada con la ausencia de números reales infinitesimales no nulos. Algunos sistemas de numeración alternativos, como los números hiperreales, sí contienen infinitesimales no nulos; en estos sistemas, a diferencia de los reales, puede haber números cuya diferencia con el 1 sea menor que cualquier número racional. Otros sistemas, como por ejemplo los números p-ádicos, tienen otra forma de «expansión decimal», que se comporta de manera muy distinta a la expansión de los números reales. Aunque los números reales son el objeto de estudio más común en el campo del análisis matemático, tanto los hiperreales como los p-ádicos tienen aplicaciones en esta área.
Índice
1 Demostraciones algebraicas
1.1 Fracciones y división euclidiana
1.2 Multiplicación por 10
1.3 Discusión
2 Demostraciones analíticas
2.1 Series infinitas y sucesiones
2.2 Intervalos encajados y cotas superiores
3 Demostraciones por construcción de los números reales
3.1 Cortaduras de Dedekind
3.2 Sucesiones de Cauchy
4 Generalizaciones
4.1 Imposibilidad de la representación única
5 Aplicaciones
6 Escepticismo en la enseñanza
7 En la cultura popular
8 En sistemas de numeración alternativos
8.1 Infinitesimales
8.2 Hackenbush
8.3 Sustracción no definida
8.4 Números p-ádicos
9 Véase también
10 Fuentes
10.1 Referencias
10.2 Bibliografía
11 Enlaces externos
Demostraciones algebraicas
Fracciones y división euclidiana
Una razón por la que los decimales infinitos son una ampliación necesaria de los decimales finitos, es que permite la representación de fracciones. Utilizando el algoritmo de la división, una simple división de enteros como 1/9, se convierte en el decimal periódico 0,111..., en el que los dígitos se repiten sin fin. Este ejemplo se utiliza para dar una rápida demostración de que 0,999... = 1.
La multiplicación de 9 por 1 da 9 en cada dígito, así 9 × 0,111... = 0,999..., y 9 × 1/9 = 1, lo que implica que 0,999... = 1:2
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{9}}&=0,111\dots \\9\times {\frac {1}{9}}&=9\times 0,111\dots \\1&=0,999\dots \end{aligned}}}
\begin{align}
\frac{1}{9} & = 0,111\dots \\
9 \times \frac{1}{9} & = 9 \times 0,111\dots \\
1 & = 0,999\dots
\end{align}
Una alternativa, también muy frecuente, es utilizar 1/3 = 0,333... y multiplicar por 3.
Multiplicación por 10
Cuando un número escrito en notación decimal se multiplica por 10, los dígitos no cambian pero el separador decimal se mueve un lugar a la derecha. Así, 10 × 0,999... = 9,999..., que es 9 unidades mayor que el número original. Para comprobarlo, basta restar 0,999... de 9,999..., los dígitos a la derecha del separador decimal se cancelan uno a uno, y el resultado es 9 − 9 = 0 para cada uno de estos dígitos:
{\displaystyle {\begin{aligned}x&=0,999\ldots \\10x&=9,999\ldots \\10x-x&=9,999\ldots -0,999\ldots \\9x&=9\\x&=1\end{aligned}}}{\displaystyle {\begin{aligned}x&=0,999\ldots \\10x&=9,999\ldots \\10x-x&=9,999\ldots -0,999\ldots \\9x&=9\\x&=1\end{aligned}}}